Simulación de ondas gravitacionales cuasi esféricas en la formulación característica[1]
Simulation of quasi
spherical gravitational waves in the characteristic formulation
Franyelit María Suárez Carreño1
Luis Dionisio Rosales[2]
Recibido en enero 2019, aceptado en abril 2019
RESUMEN
Introducción Se
hace una revisión
sobre las ondas gravitacionales, su simulación y los métodos usados para su detección definitiva el año
2015. Se presenta una comparación de las
ondas electromagnéticas con las ondas gravitacionales y los principales
esfuerzos tecnológicos realizados por décadas para su detección. Objetivo es
detectar OG a partir de agujeros negros masivos y estrellas binarias galácticas
y extragalácticas en un rango de frecuencias de 10−4
a 10−1 Hz. Materiales y métodos Se
especifican los métodos numéricos usados en su simulación, haciendo énfasis en
las técnicas computacionales usadas en los últimos años. Resultados La frontera se coloca en x = 2/3 y se usan los
parámetros para las simulaciones mostradas en las figuras 3 y 4: número de
puntos de la malla angular Nq=Np=Nξ
=45, y para la malla radial Nx=100, A=10-3, Ra = 4, Rb
= 7. Discusión: Las simulaciones
fueron realizadas con un código programado en FORTRAN 90 y corren bajo
plataforma de software libre LINUX. Las figuras fueron generadas con el graficador Dx bajo ambiente LINUX, permitieron evaluar las
ecuaciones respectivas y dar respuesta satisfactoria a los objetivos
planteados. Conclusiones: fue
posible concluir que es posible la detección de ondas gravitacionales, sin
embargo es necesario mejorar la sensibilidad, lo que permitirá la detección de
nuevos eventos colectando información sobre fuentes tres veces más
distantes, y aumentando la probabilidad de detección.
Palabras Clave
Ondas gravitacionales, Simulación, métodos numéricos.
ABSTRACT
Introduction : A review is made of gravitational waves,
their simulation and the methods used for their definitive detection in 2015. A
comparison of electromagnetic waves with gravitational waves and the main
technological efforts made over decades for their detection is presented. Objective: is to detect OG from massive
black holes and galactic and extragalactic binary stars in a frequency range of
10-4 to 10-1 Hz. Materials and methods:
Numerical methods used in its simulation are specified, emphasizing
computational techniques used in recent years. Results: The boundary is placed at x = 2/3 and the parameters are used for the simulations
shown in figures 3 and 4: number
of points of the angular mesh Nq = Np = Nξ = 45, and for the radial mesh Nx = 100 , A = 10-3, Ra = 4, Rb =
7. Discussion: The simulations were carried out with
a code programmed in
FORTRAN 90 and run under the
LINUX free software platform. The
figures were generated with the Dx
plotter under LINUX environment,
allowed to evaluate the respective equations and give a satisfactory answer to the proposed objectives.
Conclusions: it was possible to conclude that the
detection of gravitational waves is possible,
however it is necessary to improve the sensitivity,
which will allow the detection
of new events collecting information about sources three times more distant, and increasing the
probability of detection.
key words
Gravitational
waves, simulations, numerical methods
1. Introducción
En
Relatividad General la dinámica del espacio-tiempo está determinada por las
ecuaciones de campo de Einstein, la cual predice la existencia de las ondas
gravitacionales (OG). La detección de estas ondas ocupó a gran parte de la comunidad científica
de tal forma, que se lograron avances significativos en las última décadas por
la colaboración entre diversos grupos dedicados a las simulaciones y a los
esfuerzos experimentales hasta su detección definitiva en 2015 (Castelvechi,
2016), (LIGO, Caltech, 2018).
De acuerdo
con la teoría general de la relatividad, el efecto de la gravedad puede
considerarse como el resultado de la curvatura del espacio. Cuanto más masivo
es el cuerpo, mayor es esta perturbación. Las ondas gravitacionales son un
fenómeno físico que Albert Einsten predijo en 1916 en el contexto de la relatividad General. Los cuerpos más
violentos del universo, o los fenómenos en las que se pueden ver envueltos (supernovas, parejas de estrellas de
neutrones, la colisión de agujeros negros), liberan masa en forma de OG a la velocidad de la luz. El
entendimiento y detección de las ondas gravitacionales son pasos esenciales
para la comprensión del universo (LIGO, detecs gravitational waves, 2018).
Los experimentos
para la detección de las OG comenzaron con Weber en la década de los
sesenta (Lazkoz y Kroon, 2003), (Misner, Thorne y Wheeler,1973). Se esperaba
que una onda gravitacional perturbaría una barra metálica, dando origen a los detectores de barras resonantes. En 1979,
Drever y Thorne (este último fue fundamental para establecer la teoría y posterior detección de las OG) en Caltech inician el proyecto de detección
de las OG con técnicas de interferometría láser. El principio consiste en medir
la diferencia entre los desplazamientos de masas que se producen por la incidencia
de una OG. Un problema inherente a la detección de estas fue que los equipos diseñados poseen una
enorme sensibilidad que cualquier tipo
de vibración los alteraba. Esto incluye microsismos, el tráfico de vehículos y la
actividad humana en las cercanías de los observatorios, vibraciones térmicas de
los dispositivos y moléculas residuales que perturban los haces de rayos láser en el caso de los interferómetros (Bishop,
Gómez y Lehner, 2007), (Bishop, Gómez y Lehner, 1999).
En febrero
de 2016 el director de LIGO, David Reitze, anunció la primera detección directa
de ondas gravitacionales. Es el principio
de una nueva era en astronomía: Kip Thorne, Rainer Weiss y Barry Barish
fueron galardonados con el Nobel de Física de 2017 por sus contribuciones en un
campo que permitirá desvelar aspectos hasta ahora desconocidos del universo. Los proyectos LIGO, Virgo y
GEO600 trabajaron en conjunto para la primera detección de ondas
gravitacionales, generadas por la fusión de dos agujeros negros a unos 410 megapársecs
de la Tierra. La señal detectada se
codificó GW150914,15. GW es el acrónimo
de onda gravitacional (en inglés) y el código numérico representa el año, mes y
día de su descubrimiento (Bishop, Gómez y Lehner,1996).
Las
mediciones y registros en el detector LIGO
ubicados en Hanford, Washington, Estados Unidos
y de Livingston, Luisiana y la
comparación con los predicciones de las simulaciones se complementaron para
demostrar una de las predicciones más extraordinarias de la Relatividad
General. La onda observada el 14 de septiembre de 2015 por Marco Drago, científico del Instituto Albert Einstein en Hannover, Alemania, es compatible con las predicciones de la
relatividad general para la coalescencia y fusión de un par de agujeros negros
y el subsiguiente ringdown (modo cuasinormal) del agujero negro resultante. Más adelante, como resultado de nuestras simulaciones se
muestra el ringdown correspondiente cuando un campo escalar perturba un agujero
negro.
En este trabajo
se muestra un resumen histórico de la teoría y
esfuerzos experimentales para la detección de las OG. Además, se
resaltan algunos resultados de
simulaciones realizadas por los autores, en las cuales se emplean
métodos computacionales de avanzada tales como:
el formalismo eth de Newman-Penrose y el método de las características
nulas. Se resuelve numéricamente el sistema Einstein-Klein-Gordon 3D (tres
dimensiones espaciales y una temporal) cuasi esférica y se calcula numéricamente la radiación
escalar y gravitacional en el infinito nulo futuro. El trabajo está distribuido
de la siguiente manera: En la sección I se trata lo referente a la naturaleza
de las OG incluyendo su predicción y una
comparación de las ondas electromagnéticas con las ondas
gravitacionales. En la sección II se describen los tipos de detectores y los
métodos experimentales para su detección así como los detectores que existen
actualmente. En la sección III se describen los métodos computacionales y
finalmente en la sección IV se muestran los resultados de las simulaciones de
las ondas gravitacionales. Por último,
se muestran las conclusiones finalizando con las referencias.
Ondas electromagnéticas-ondas
gravitacionales
En
relatividad general, la masa perturba el espacio-tiempo y los cambios en la
forma y posición de estas causan una distorsión que se propaga por el Universo
a la velocidad de la luz. Esto se le conoce como ondas gravitacionales.
Einstein calculó la potencia radiada por una fuente “Newtoniana” aislada, y
demostró que depende cuadráticamente de las variaciones del momento cuadrupolar de la misma. Luego, A. Eddington
comprobó que la predicción de Einstein era correcta y demostró que la
propagación de las OG débiles a la velocidad de la luz en un espacio-tiempo
plano es independiente del sistema de coordenadas. Bondi en 1957, tratando de
explicar sobre la energía transportada por las OG, decía si se colocaban
anillos en una barra metálica lisa, estos podrían desplazarse bajo la acción de
una onda gravitacional incidente y calentar la barra, de tal forma que exista
una transferencia de energía. Hacia los años sesenta, Bondi y otros autores
estudiaron propiedades asintóticas de las OG en el infinito (Bondi, 1960;
Bondi, Van der Burg y Metzner,
1962; Sachs, 1962, 1963; Penrose, 1963, Newman y Penrose, 1963). Estos trabajos sirvieron de bases teóricas para el
estudio numérico y posterior simulación de
OG (Bishop, Gómez, Lehner, Maharaj y Winicour, 1997),( Bishop, Gómez, Lehner, Maharaj y Winicour, 1999),
(Weber, 1969), (Misner, Thorner,
papadopoulos y Winicour, 1997).
Las OG se
emiten a partir de masas aceleradas, tal como las ondas electromagnéticas son
producidas por las cargas aceleradas. Estas ondas transportan información acerca de sus orígenes, tal como
se demostró con su reciente detección, y
de la naturaleza de la gravedad. Una comparación de las ondas electromagnéticas y las
gravitacionales: Las ondas
electromagnéticas son oscilaciones de los campos electromagnéticos que se
propagan en el espacio-tiempo a la velocidad de la luz, mientras las ondas gravitacionales
son propagaciones de las distorsiones del espacio-tiempo propagándose a la velocidad de la luz. Las ondas electromagnéticas resultan
de la superposición de ondas a partir de átomos, moléculas y partículas,
mientras que las OG son emisiones de energía a partir del movimiento de las
masas.
Las ondas
electromagnéticas pueden absorberse y dispersarse en la interacción con la
materia, mientras que las ondas gravitacionales no se absorben ni se dispersan.
Finalmente, la frecuencia de las ondas electromagnéticas se ubica a f > 107Hz, mientras que las
ondas gravitacionales se espera que sean detectadas a frecuencias f <
104Hz (Rosales, Jarroui
y Serrano, 2007), (Bishop,Gómez, Lehner
y Maharaj, 1999), (Bunch y Hellemans, 2004). Entre las fuentes más prominentes de OG
se tienen: colisión de agujeros negros, estrellas de neutrones rotantes,
sistemas binarios de agujeros negros y de estrellas de neutrones.
Detectores: barras resonantes e interferometría láser
Dos
tecnologías se siguen usando actualmente en la detección de las OG. La primera
es monitorear los modos de vibración de una barra metálica sólida a muy bajas
temperaturas, formando los detectores de Barras Resonantes. La segunda monitorea los
desplazamientos relativos de masas usando técnicas de Interferometría
Láser. Los interferómetros tienen algunas ventajas sobre los de barras
resonantes. Los primeros operan en una amplia banda de frecuencias, mientras
los otros operan en una banda reducida. Se esperaba que a comienzos de este siglo se
obtuviesen los primeros resultados sobre la detección de ondas gravitacionales
como realmente sucedió.
a.
Detector de Barras Resonantes: El detector de barras resonantes, consiste en
una tecnología cuyas
oscilaciones mecánicas producidas por OG se
convierten en señales eléctricas. Consta de un amplificador para la
señal eléctrica y un sistema transductor. Este tipo de detectores se encuentran
en la Universidad de Maryland, Universidad de Louisiana.
Funcionan a muy bajas temperaturas para eliminar los ruidos térmicos y deben aislarse de tal forma que no sean afectadas
por los microsismos. Actualmente, existen varios detectores de barras
resonantes cilíndricos: Universidad de Perth, Australia y Universidad de Roma)
operando a temperaturas de unos pocos grados Kelvin (temperaturas del helio
líquido) y sensibilidades del orden de aproximadamente 10−19. Otros detectores
operan a temperaturas de unos pocos miliKelvin
(~100mK): AURIGA (Universidad de Legarno, Italia) y
NAUTILUS (Universidad de Roma) operando a sensibilidades cercanas a 10−20.
b.
Detectores basados en Interferometría Láser: LIGO es
el Observatorio de Interferometría Láser desarrollado en colaboración Caltech-MIT en Estados Unidos (Weber, 1969),. Se construyeron
prototipos en ambas instituciones y se usan para ubicar fuentes de OG tales
como sistemas binarios, estrellas de neutrones rotantes, supernovas y otros
fenómenos cosmológicos y astrofísicos tal como se demostró recientemente.
Cuando incide la onda, la diferencia entre los desplazamientos de las masas
ubicadas en los extremos de los brazos del Interferómetro, es monitoreada por
el sistema óptico: un divisor de rayo en el centro y dos espejos unidos a dos
masas en las esquinas del interferómetro. Cuando incide una onda gravitacional
perpendicular al plano del equipo decrece la distancia entre las masas
de prueba en uno de los brazos, mientras se incrementa en la otra. Los cambios
pueden ser detectados si se logra el aislamiento de las masas de prueba de
cualquier otra perturbación, tales como microsismos, moléculas de gas en el
aire y fluctuaciones del láser.
Los brazos
de LIGO están arreglados en forma de L, de tal forma que se midan los cambios
de distancia entre las masas suspendidas al final de cada brazo. Este efecto
oscila entre los dos brazos a la frecuencia de las ondas gravitacionales ΔL =
ΔL1 − ΔL2 = hL, donde h es la amplitud de la onda
proporcional a la longitud del interferómetro L. Para LIGO es 4 km, esto da una
amplitud de la onda de h ~10−21 m.
Mientras,
VIRGO (Francés-Italiano) consiste en un Interferómetro
de Michelson formado por dos brazos ortogonales de 3
km de longitud. Está localizado cerca de Pisa y se espera sea sensible a la
radiación producida por Supernovas y coalescencia de sistemas binarios en la
Vía Láctea y otras galaxias. Para lograr el aislamiento del equipo, se están
desarrollando las más avanzadas técnicas en las altas potencias de los láser, buena reflexión de los espejos y aislamiento
sísmico.
GEO (Británico-Alemán)
construido cerca de Hannover, con brazos de 600 metros de longitud. TAMA en
Japón consiste de Interferómetro Fabry-Perot, está
localizado en Tokio y se desarrolla con técnicas avanzadas que permitirán detectar
OG provenientes del grupo local de galaxias. Se espera que la coalescencia de
estrellas de neutrones binarias, así como las Supernovas puedan producir ondas
detectables por el equipo.
El
detector espacial LISA (ESA-NASA) fue propuesto por la European
Space Agency y el láser Interferometer
Space Antenna y se espera
que obtenga los primeros resultados el 2014. El objetivo primario de LISA es
detectar OG a partir de agujeros negros masivos y estrellas binarias galácticas
y extragalácticas en un rango de frecuencias de 10−4
a 10−1 Hz. LISA permitirá detectar OG generadas por binarias dentro de nuestra
galaxia y por agujeros negros masivos en galaxias distantes. También permitirá
estudiar fusiones de agujeros negros súper masivos.
ACIGA (Australia) fue
propuesto en 1989 con el fin de monitorear el hemisferio sur y con la
colaboración de los proyectos antes mencionados se han desarrollado técnicas
avanzadas de Interferometría láser. Todos estos
proyectos están distribuidos por todo el mundo y en colaboración mutua y
trabajando en red, funcionan como un observatorio internacional de OG.
Detección
Con la
reciente detección de las ondas gravitacionales, no se amplía el espectro
electromagnético, sino que aparece un espectro nuevo, que proporcionará información sobre la materia oscura
existente en el Universo y otros fenómenos hasta ahora desconocidos. El noventa
por ciento de la materia del Universo es invisible y la información sobre la
materia oscura ayudará a los astrónomos a comprender mejor el nacimiento y destino del Universo (Castelyechi,
2018), (Rowan y Hough,
2000).
Hasta 2015, las OG no se
habían detectado directamente, sin
embargo, existieron evidencias
indirectas de su existencia, resultado de los trabajos de Hulse
y Taylor quienes estudiaron el sistema binario PSR1913+16, que consiste en un
púlsar describiendo una órbita elíptica alrededor de otro. El púlsar tiene una
velocidad orbital de 300 Km/s y las variaciones en los tiempos de llegada del
pulso a la tierra proporcionaron información acerca de la órbita y sobre el
período orbital del sistema, el cual es aproximadamente 8 horas. La variación
del período orbital del púlsar fue seguido durante 14
años y el resultado está de acuerdo con las predicciones de la Relatividad
General. El período orbital del sistema binario está decreciendo y la tercera
Ley de Kepler está
perdiendo energía. Esto concuerda con el flujo de energía por radiación
gravitacional predicho por la fórmula cuadrupolar de
Einstein. Por este trabajo, Hulse y Taylor fueron
galardonados con el premio Nóbel de física en 1993 (Bishop, Gómez, Lehner, Maharaj y Wirincour, 1969).
Los dos
observatorios de LIGO están separados
3,002 kilómetros, o sea, una distancia
de 10 milisegundos luz. En febrero
2015, los dos detectores entraron en funcionamiento. Fue en este periodo cuando
se detectaron las primeras señales de OG. La fuente de las ondas fue la fusión
de dos agujeros negros con
masas de aproximadamente
29 y 36 masas solares. La señal GW150914 se registró el 14 de septiembre. La
energía liberada como resultado de la fusión es equivalente a tres masas
solares (alrededor del 4,6% de la masa de los agujeros negros fusionados). Esta
fusión, según los cálculos, ocurrió hace 1.300 millones de años luz (Abbott,
Abbott, Abbott, Abernathy, Acernese,
Ackley, Adams, Adams, 2016).
Durante la
colisión entre dos agujeros negros se libera una enorme cantidad de energía,
que tiene el efecto de deformar el espacio-tiempo y transmitir consigo
ondas gravitacionales. “Si observamos el cielo en luz visible – según Thorne-,
todo parece tranquilo. Pero en el rango de frecuencia de las ondas de radio
esto cambia por completo. Con las ondas gravitacionales no se estudia la luz,
ni ningún otro tipo de radiación. Se trata de una ventana completamente
diferente. Tenemos ondas con periodos de milisegundos, de días, de años o de
décadas”
En junio
de 2016, físicos de LIGO y Virgo informaron que habían registrado ondas
gravitacionales por segunda vez. Una tercera detección se publicó en Physical
Review Letters en junio de
2017. En los tres casos, ambos detectores LIGO detectaron las ondas provenientes
desde la fusión de dos agujeros
negros. La tercera detección es la más
lejana hasta el momento, con agujeros ubicados a 3 mil millones de años luz de
la Tierra (las anteriores tenían 1.3 mil y 1.4 mil millones respectivamente).
El 27 de
septiembre de 2017 la mencionada colaboración científica confirmaba la cuarta
detección de ondas gravitatorias. Detectores en dos continentes separados por
miles de kilómetros registraron, el pasado mes de agosto, señales de ondas
gravitacionales de dos agujeros negros colisionando (Abbott, 2016), (Overbye, 2016). El descubrimiento es el primero realizado
con tres interferómetros distintos: dos adscritos a LIGO y otro perteneciente a
EGO/Virgo. La comparación del momento de las detecciones de ondas
gravitacionales en los tres observatorios permitió a los astrónomos mejorar
enormemente la ubicación del origen de la OG. En este caso, el suceso se
corresponde a la fusión de dos agujeros negros de 31 y 25 masas
solares, respectivamente. Ambos agujeros coalescen
hasta su fusión durante breves segundos a casi dos mil millones de años luz de
distancia en relación a nuestra posición actual en el cosmos. Estas detecciones
contribuyen a confirmar definitivamente la teoría de la relatividad general de
Einstein. Se le considera el descubrimiento más impactante de la física en los
últimos años.
2.
Materiales y métodos
Para
detectar las OG se deben comparar los datos experimentales con las simulaciones
realizadas con métodos numéricos avanzados. Aun así, se requiere muchas horas
de cálculo en supercomputadoras que permitan obtener resultados confiables en
tiempos relativamente cortos.
Un método
muy usado para resolver las ecuaciones de Einstein consiste en seccionar el
espacio-tiempo en foliaciones (hojas de papel separadas por intervalos de
tiempo de diferencia), especificar datos iniciales adecuados a la foliación
inicial y hallar la evolución de los campos
gravitacionales. En varios trabajos se han utilizado foliaciones especiales que permiten
evaluar el señal de radiación gravitacional en el infinito. Para hallar los
patrones de radiación
se lleva a cabo una compactificación,
que facilita la implementación numérica de las ecuaciones, siendo la
convergencia y estabilidad de las soluciones la confirmación que las
simulaciones están arrojando resultados confiables.
Desde la
década de los noventa, una serie de trabajos se realizaron en simetría
esférica, donde se han conseguido realizar simulaciones estables con datos
iniciales del espacio-tiempo plano y datos iniciales que incluyen un agujero
negro. Estos resultados fueron cruciales para la implementación general en tres
dimensiones espaciales, para la simulación de modelos teóricos de ondas
gravitacionales y en estudios más realistas del espacio-tiempo.
Estudiar
la radiación gravitacional en forma analítica es difícil por la
naturaleza compleja de las ecuaciones. La necesidad de investigar estos
sistemas dió origen a la Relatividad Numérica, que ha
permitido resolver las ecuaciones de campo de Einstein a partir de la
prescripción del dato inicial (Bondi, Van der Bur y Metzner, 1962). Por ejemplo, los códigos que existen
sugieren que una estrella colapsando puede emitir de 1 a 2% de su masa en forma
de radiación gravitacional. La colisión entre agujeros negros, estrellas de
neutrones, estrellas de neutrones y agujeros negros, estrellas rotantes son
algunos de los problemas que se están tratando de simular. Con las recientes
detecciones, se demostró que efectivamente, en la fusión de dos agujeros
negros, la masa del agujero negro resultante es menor que la suma de las masas
de los agujeros antes de la fusión. Un porcentaje se radió al espacio en forma
de OG:
En las
últimas décadas surgieron dos métodos que permiten especificar y evolucionar
datos iniciales para problemas físicos complejos. El método de Cauchy (también conocido como ADM o “3+1”) folia el
espacio-tiempo con hipersuperficies tipo espacio
(Newman y Penrose, 1965). Alternativamente, la
aproximación característica usa la foliación de hipersuperficies
nulas. La evolución de Cauchy está muy desarrollada y
se ha demostrado su utilidad en problemas con materia y campos fuertes. Sin
embargo, está limitado a usarse en una región finita del espacio-tiempo y se
necesita especificar condiciones de contorno artificiales. La evolución
característica permite la compactificación del
espacio-tiempo y la incorporación del infinito nulo dentro de una malla
computacional finita. En el presente, la unificación de ambos métodos ofrece la
mejor oportunidad de atacar el problema de dos cuerpos en la gravitación
teórica moderna: la colisión de dos agujeros negros (Lazkoz
y Valiente, 2003). En las simulaciones de este trabajo se usa la formulación
característica.
Formulación Característica de la
Relatividad General
La
formulación característica de la Relatividad General se fundamenta en el problema del valor
inicial característico formulado por Bondi (Rowan y Hough, 2000) . Entre las ventajas que ofrece esta
formulación se tiene la compactificación de la
coordenada espacial, lo cual permite transformar un intervalo infinito en una
malla computacional finita de puntos y el conjunto de datos iniciales se puede especificar
arbitrariamente. Si la coordenada radial compactificada
es x=r/(r+1) , el infinito se describe por la hipersuperficie nula x = 1. Un campo en el espacio-tiempo
se puede definir ahora globalmente en el intervalo (0 ≤ x ≤ 1). La trascripción
de las ecuaciones de campo en esta nueva coordenada es necesaria antes de la
implementación numérica y proporciona
una ecuación de evolución para todos los radios incluyendo x = 1 (el infinito).
El formalismo eth
(ð)
El
Formalismo eth tiene su fundamento analítico en los
artículos de Newman y Penrose en los años sesenta
(Newman y Penrose, 1965). En los años noventa se
empleó una versión numérica de este formalismo para simular la radiación
gravitacional. El Formalismo eth permite la implementación numérica (discretización)
de las coordenadas angulares y se ha aplicado a diferentes problemas de la
Relatividad General. La técnica consiste en cubrir la esfera con dos parches de coordenadas
estereográficas tangentes a los hemisferios norte y sur (Figura 1), con una
zona llamada de solapamiento entre los
parches. Los parches se definen por
Ambos parches se
relacionan
Figura 1. Hemisferios norte y sur de la
esfera. Cada uno se cubre con un parche cuadrado que permite relacionar las
coordenadas esféricas (θ,φ)
con las rectangulares esterográficas (q,p).
Discretización de las coordenadas angulares
La
ecuación de la onda suministra una descripción satisfactoria de ciertos
sistemas físicos. La ecuación de onda 3D (tres dimensiones espaciales y una
temporal) se expresa
donde c es la
velocidad de la luz, F es el campo a determinar,
en coordenadas
esféricas y
en las coordenadas rectangulares
estereográficas. En el cálculo numérico
la expresión (4) es dificil discretizar,
mientras que la expresión (5) es mucho mas sencilla.
De tal forma que se puede
construir una malla de puntos (qk, pl) en una región cuadrada, de ancho NξΔ
y alto NξΔ (Figura 2), con
donde Nξ es el
número de puntos de la malla angular.
q p k-1,l K,l+1 Δ Δ k,l k+1,l k, l -1
Figura 2: Discretización de las
coordenadas angulares en términos de las coordenadas q y p, mediante diferencia centrada.
La figura muestra una malla de puntos en coordenadas p y q, que permiten discretizar las coordenadas angulares mediante el
formalismo eth.
La aproximación en diferencia centrada a
segundo orden para la primera derivada es
donde
Simulación
de las ondas gravitacionales
Muchos fenómenos físicos
están representados por ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales. Debido a que no se conocen las soluciones
analíticas para algunas de estas ecuaciones, se han implementado técnicas para resolverlas numéricamente que han
permitido estudiar fenómenos físicos desde los más comunes y fundamentales de la
naturaleza, como lo es el movimiento ondulatorio, hasta los más complejos como
la colisión de dos agujeros negros [8,9,10]. En este trabajo se resuelve numéricamente
el sistema Einstrein-Klein-Gordon cuasiesférico
en 3D.
El sistema
Einstein-Klein-Gordon en forma general
donde T representa
la traza del tensor de energía-momentum para el campo
escalar de masa nula, Rab es el tensor de Ricci
y gab las componentes del tensor métrico. Se
demuestra que las ecuaciones son acopladas mínimamente al campo escalar de masa
nula, o el sistema de Einstein-Klein-Gordon cuasiesférico
es
y la
ecuación de evolución para el campo escalar de masa nula
Φ = 0
(11)
donde es
el operador D'lambertiano en coordenadas de
Bondi-Sachs (Weber, 1969). Explícitamente, el sistema Einstein-Klein-Gordon
cuasi-esférico en coordenadas de radiación es (Rosales et al, 2007)
(13)
(14)
(15)
donde
(16)
(17)
(18)
donde la
coma representa derivada respecto de la coordenada indicada. Los campos
gravitacionales β, Q, W, U, J y Ø son las variables a determinar. Las derivadas
angulares respecto a θ y φ se han sustituido por los operadores usando las coordenadas estereográficas y el
formalismo eth. Mientras que las derivadas respecto de r, se sustituyen por las
correspondientes derivadas respecto de x.
3.
Resultados
El sistema
de ecuaciones a resolver está representado por las ecuaciones (12)-(18). Para el problema del valor inicial característico se necesita
especificar el dato inicial sobre la primera hiper superficie
y las condiciones de frontera sobre el tubo de mundo. Se usó un dato inicial de
soporte compacto en la forma
(19)
Figura 3. El problema físico: Dado un
dato inicial (tipo gausiano) en la primera hipersuperficie, el esquema numérico permite encontrar la
radiación escalar y
gravitacional en el infinito.
La frontera se coloca en
x = 2/3 y se usan los parámetros para las simulaciones mostradas en las figuras
3 y 4: número de puntos de la malla angular Nq=Np=Nξ =45, y para la malla radial Nx=100,
A=10-3, Ra = 4, Rb = 7. Las condiciones de frontera sobre el tubo de mundo Γ son U = J = β = Ø = 0 y W = 0.
La figura 4 muestra el escalamiento del modo
real de polarización de la onda gravitacional con el momentum
angular l=1,2,3 y 4. Se muestra la asimetría en la forma de la onda. La figura
5 muestra el modo real para u=1 y u=2 para un dato inicial axial simétrico ( depende de r y theta
en u=0). Se muestra la suavidad y simetría de la onda.
Figura 4. Una prueba de la validez de
los resultados es hacer el escalamiento del modo de polarización real. Para
momentos angulares del dato inicial l=2, 4, 6 y 8 se muestra el escalamiento de
N+.
Figura 5. Modo de polarización real N+
para un dato inicial 3D. Se muestra la amplitud de la onda en función del
tiempo de Bondi u=1 y u=3.
Figura 6. Modo de polarización real para un dato inicial axial
simétrico. Se muestra la amplitud de la onda en función del tiempo de Bondi u=1
y u=2.
Convergencia y estabilidad
Como se
mencionó antes las ondas gravitacionales tienen dos modos de polarización: el
modo real N+ y el modo complejo Nx.
Otra
prueba realizada fue el escalamiento de la amplitud de la onda gravitacional
con el momentum angular. Esto se muestra en la figura
4, se muestra el comportamiento esperado para l=2,4,6,8.
La figura 7 muestra el modo cuasinormal simulado y el obtenido con esquemas perturbativos. Se muestra la coincidencia a medida que
transcurre el tiempo.
Figura 7. La línea punteada muestra el
modo cuasinormal resultado de la simulación (campo
escalar en función del tiempo en el infinito). Los parámetros son: masa del
agujero negro M=1, Ra=5, Rb=7 y amplitud lambda=10 -6 La línea
sólida muestra el modo cuasinormal obtenido usando
teoría de perturbaciones.
4.
Discusión
La Figura
1 muestra la evolución del campo escalar para diferentes tiempos. Puede
observarse la suavidad de las curvas. La Figura 2 muestra el patrón de
radiación gravitacional, en particular el modo real de polarización de la onda.
Es clara la muy baja amplitud de la onda. Cabe destacar que las simulaciones
fueron realizadas con un código programado en FORTRAN 90 y corren bajo
plataforma de software libre LINUX. Las figuras fueron generadas con el graficador Dx bajo ambiente LINUX.
En la
figura 4 la parte angular del dato inicial lo constituye un armónico esférico Ylm. Para l=2 la
curva se mantiene estable. A medida que l aumenta se muestra el efecto en la
amplitud. La figura 4 muestra el modo de polarización real para dos tiempos u=1
y u=3 para un dato inicial 3D ( depende de r,theta y phi en u=0).
La
convergencia del código para calcular la radiación gravitacional se llevó a
cabo con el modo de polarización complejo. Esto es, si el dato inicial es axial
simétrico el modo complejo debería ser cero. Efectivamente, este es un ruido de
magnitud 10-22 aproximadamente, el cual se monitoreo construyendo una tabla con
13 datos. Nx=30…160.
Definiendo error (Nx-0), al graficar log(error) con respecto de log(dx),
se tiene una recta de pendiente 1,8 en acuerdo con el orden esperado de 2.
5.
Conclusiones
Se
esperaba que en la primera o segunda década de este siglo los detectores
registraran señales representativas de las ondas gravitacionales, tal como
ocurrió. En el futuro inmediato la deteción de OG
será muy común de ahora en adelante. Hay esfuerzos en marcha para mejorar la red global
de detectores de ondas gravitacionales. Estos incluyen la construcción de
nuevos detectores , mejorar la sensibilidad, lo que
permitirá la detección de nuevos eventos colectando información sobre fuentes tres veces más distantes, y
aumentando la probabilidad de detección. Además de Virgo, KAGRA, y un tercer LIGO en la India extenderán la red y mejorarán
significativamente la ubicación de posición y estimación de parámetros de las
fuentes. La masa y momento angular del agujero negro posterior a la fusión son compatibles con las propiedades de
los dos agujeros negros antes de la fusión según predice la relatividad
general. Esto constituye una prueba de la relatividad general en el régimen de
campos fuertes, un régimen casi imposible verificar hasta ahora.
En cuanto
a las simulaciones, el método característico representa una forma ventajosa de
estudiar la radiación gravitacional, debido a que el dato inicial es
arbitrario. Su desventaja hasta el presente ha sido la dificultad de simular la
colisión de sistemas binarios. Lo contrario sucede con el formalismo de Cauchy, donde el dato inicial es el resultado de resolver
ecuaciones diferenciales adicionales y permite simular sistemas binarios. Sin
embargo, se obtienen resultados que aportan al estudio teórico experimental de
las OG.
Con la
detección de OG se abre una nueva ventana al universo. Aparte de confirmar la
teoría de la Relatividad General como la teoría correcta para describir los
fenómenos gravitacionales y
la existencia de agujeros negrospudieran
dar explicaciones muchos otros fenómenos gravitacionales hasta ahora
desconocidos, tal como la materia oscura del universo. También, que aplicaciones tecnológicas pudieran
lograrse con la detección y completa descripción de estas ondas.
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[1]Artículo original derivado del proyecto de investigación ondas
gravitacionales, líneas y programas de investigación a través de los proyectos
realizados en el periodo 2017-2019
[2]Magister en Ingeniería Electrónica. Ingeniero Electrónico.
UNEXPO-Puerto Ordaz. Venezuela. ORCID: 0000-0002-8763-5513. fsuarez@unexpo.edu.ve;
frangelits@gmail.com,
2Doctor en Física. Físico Teórico. Director de Investigación y Post
Grado. UNEXPO-Puerto Ordaz. Venezuela. lrosales@unexpo.edu.ve; luis.rosales2@gmail.com,
https://orcid.org/0000-0003-1832-8373
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